La fórmula general
Toda ecuación de segundo grado se escribe ax² + bx + c = 0, con a distinto de cero. La fórmula general da sus soluciones directamente a partir de los tres coeficientes: el signo ± produce las dos raíces cuando existen.
El cálculo es mecánico: sustituye a, b y c, calcula primero el discriminante (lo que hay dentro de la raíz) y termina de operar. Esta calculadora hace esos pasos y añade el vértice y la forma factorizada.
Fórmula
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
El discriminante es Δ = b² − 4ac: el valor bajo la raíz decide cuántas soluciones reales hay.
Qué dice el discriminante (Δ = b² − 4ac)
Antes de despejar nada conviene mirar el signo de Δ, porque anticipa el tipo de soluciones sin calcularlas.
| Signo de Δ | Soluciones | Ejemplo |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Dos raíces reales distintas | x² − 3x + 2 = 0 → x₁ = 2 y x₂ = 1 |
| Δ = 0 | Una raíz doble (repetida) | x² + 2x + 1 = 0 → x = −1 |
| Δ < 0 | Dos complejas p ± q·i, sin soluciones reales | x² + 4 = 0 → x = ± 2i |
Geométricamente, las soluciones reales son los puntos donde la parábola y = ax² + bx + c corta al eje X: dos cortes si Δ > 0, uno tangente si Δ = 0 y ninguno si Δ < 0.
Ejemplos verificados
- a = 1, b = −3, c = 2 (x² − 3x + 2 = 0): Δ = 1, soluciones 2 y 1, vértice (1,5; −0,25) y forma factorizada (x − 2)(x − 1).
- a = 1, b = 2, c = 1 (x² + 2x + 1 = 0): Δ = 0, raíz doble x = −1 y forma factorizada (x + 1)².
- a = 1, b = 0, c = 4 (x² + 4 = 0): Δ = −16; no hay soluciones reales y las raíces complejas son ± 2i.
- a = 2, b = −7, c = 3 (2x² − 7x + 3 = 0): Δ = 25, soluciones 3 y 0,5; factorizada 2(x − 3)(x − 0,5).
- a = 1, b = 5, c = 6 (x² + 5x + 6 = 0): Δ = 1, soluciones −2 y −3; factorizada (x + 2)(x + 3).
- a = 1,5, b = 2, c = −1: Δ = 10, soluciones x₁ ≈ 0,387426 y x₂ ≈ −1,7208. Los decimales se escriben con coma.
Aplicaciones prácticas
Siempre que una magnitud depende de otra de forma parabólica aparece esta ecuación.
- Trayectorias: la altura de un balón lanzado es h(t) = h₀ + v₀·t − 5·t² (t en segundos, alturas en metros). Igualar h(t) = 0 da una cuadrática cuyo resultado positivo es el tiempo de vuelo.
- Áreas y medidas: si un rectángulo de perímetro conocido debe tener cierta área, sus dimensiones salen de resolver x·(L − x) = A, otra ecuación de segundo grado.
- Problemas de números: «la suma de un número y su cuadrado es 42» se traduce a x² + x − 42 = 0 y se resuelve igual que cualquier otra.
- El vértice que muestra la calculadora responde al vuelo las preguntas de máximo o mínimo: por ejemplo, la altura máxima del balón y el instante en que se alcanza.
Errores comunes
- Dividir la fórmula a mano: el denominador es 2a completo, no 2. Con a = 2 y b = −7, la raíz con +√Δ es 7 ÷ 4, no 7 ÷ 2.
- Olvidar el signo de c: con c = −1, el término −4ac vale +4a. Los fallos de signo al calcular Δ son el error más frecuente.
- Perder una solución al simplificar: si cancelas un factor común antes de resolver, comprueba que no se pierde la raíz 0 (x² − 3x = 0 tiene las raíces 0 y 3).
Si a = 0 la ecuación no es de segundo grado sino de primer grado (bx + c = 0). La calculadora te lo avisa y no aplica la fórmula general, porque dividiría entre 2a = 0.