Qué es el factorial
El factorial de n, escrito n!, es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n. Responde a la pregunta «de cuántas formas puedo ordenar n elementos»: con 5 objetos hay 5! = 120 órdenes posibles. Por definición, 0! = 1: hay exactamente una forma de ordenar nada.
Fórmula
n! = 1 × 2 × 3 × … × n, con 0! = 1
Propiedad útil: n! = n × (n−1)!. Por eso 6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720.
Ejemplos verificados
- 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.
- 10! = 3.628.800: con 10 personas hay más de 3,6 millones de formas de hacer fila.
- 0! = 1 y 1! = 1.
- 13! = 6.227.020.800: a partir de aquí el resultado supera los 10 dígitos y crece vertiginosamente.
Por qué el límite de 170
El navegador guarda los números con una precisión de unos 16-17 dígitos significativos y un tope de magnitud cercano a 1,8 × 10³⁰⁸. El factorial crece tan rápido que 171! ≈ 1,24 × 10³⁰⁹ ya lo supera y daría «infinito»; el límite 170! ≈ 7,26 × 10³⁰⁶ queda justo por debajo.
Hasta 18! el resultado es exacto dígito a dígito. A partir de 19!, el valor mostrado es el más próximo que la aritmética del navegador puede representar.
Para qué sirve el factorial (más allá del examen)
El factorial cuenta ordenaciones: con 5! = 120 hay 120 maneras de ordenar 5 fotos en una fila, 120 barajados posibles de 5 cartas y 120 itinerarios para visitar 5 ciudades. También es el motor de las combinaciones: las loterías calculan su probabilidad dividiendo factoriales, y las series matemáticas del seno o del coseno que usan las calculadoras científicas se construyen con factoriales en los denominadores. Con números grandes, el crecimiento desborda cualquier intuición: 52! (las barajados de una baraja completa) es un número de 68 dígitos.
Conexión con otras calculadoras
El factorial y la potencia crecen en la misma liga (compara 10! con 10⁸) y juntos forman la base de las fórmulas de probabilidad. Para los resultados gigantes en formato compacto, la notación científica es el idioma natural: 170! se lee mejor como 7,26 × 10³⁰⁶ que con sus 307 dígitos. El resto de herramientas de matemáticas comparten el mismo motor de cálculo local.