¿Qué es i en los números complejos?

Es la unidad imaginaria, un número cuya propiedad definitoria es i² = −1 (equivale a la raíz cuadrada de −1). No es una incógnita ni una variable: es una constante con todas las operaciones. Gracias a ella, ecuaciones sin solución real como x² + 1 = 0 tienen solución: x = i y x = −i.

¿Por qué al dividir complejos se multiplica por el conjugado?

Porque el producto de un complejo por su conjugado es siempre un número real: (c+di)(c−di) = c²+d². Multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, este se convierte en el real c²+d² y la división se reduce a un producto y una división por un número normal. Es el mismo truco que racionalizar denominadores con raíces.

¿Puede el resultado de operar con complejos ser un número real?

Sí: basta con que la parte imaginaria del resultado sea 0. Por ejemplo (1+i)(1−i) = 2 y (3+2i)+(1−2i) = 4. En esos casos la calculadora muestra el resultado sin la i, como un número real normal.

¿Qué es el argumento de un número complejo?

Es el ángulo, en grados, entre el eje real positivo y el vector que representa al número en el plano complejo. Aquí se da entre −180° y 180° usando atan2(b, a), que respeta el cuadrante. Solo tiene sentido si el número no es 0 + 0i: el cero no apunta a ninguna dirección.

¿Qué hago con los campos que no necesito?

Déjalos vacíos: valen 0. Si escribes solo 3 en la parte real de A, el número es 3 + 0i; si escribes solo 5 en la imaginaria, es 5i. Así puedes operar con reales e imaginarios puros sin escribir ceros, y el resultado se muestra con el formato limpio (5i en vez de 0 + 5i).

Calculadora de números complejos — binómica, módulo y polar

Qué es un número complejo y para qué sirve

Un número complejo tiene dos partes: una real y una imaginaria. Se escribe en forma binómica como z = a + bi, donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria, definida por la propiedad i² = −1. Un número real es el caso particular con b = 0: escribir «3» equivale a escribir «3 + 0i».

Durante siglos, ecuaciones como x² = −1 no tenían solución entre los números reales. Al aceptar i como un número con todas las operaciones, las raíces de los negativos existen y el álgebra se cierra: todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces complejas, contando las repetidas.

Hoy los complejos son la herramienta natural de todo lo que oscila y gira: en electrónica la impedancia de un circuito es un complejo (resistencia más reactancia·i), y en telecomunicaciones, audio y tratamiento de señales las ondas y los filtros se describen con ellos.

Fórmula

z = a + bi, con i² = −1

a es la parte real y b la parte imaginaria (el coeficiente de i). Si b = 0 el número es real; si a = 0, es un imaginario puro como 5i.

Las cuatro operaciones con su fórmula

La suma y la resta se hacen parte a parte: las partes reales entre sí y las imaginarias entre sí, igual que se suman vectores.

La multiplicación usa la distributiva y i² = −1: al desarrollar (a+bi)(c+di) aparece el término bi·di = bd·i² = −bd, que se agrupa con las partes reales. De ahí sale la fórmula del producto.

La división se resuelve multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, c − di. Como (c+di)(c−di) = c² + d² (un número real puro), el denominador queda real y la operación se reduce a multiplicar y dividir entre un real. Es el mismo truco que racionalizar un denominador con raíces.

Suma: (3+2i) + (1−i) = (3+1) + (2−1)i = 4 + i.
Resta: (3+2i) − (1−i) = (3−1) + (2+1)i = 2 + 3i.
Multiplicación: (3+2i)(1−i) = (3·1 − 2·(−1)) + (3·(−1) + 2·1)i = 5 − i.
División: (3+2i) ÷ (1−i) = [(3+2i)(1+i)] ÷ [(1+i)(1−i)] = (1 + 5i) ÷ 2 = 0,5 + 2,5i.

Fórmula

(a+bi)(c+di) = (ac − bd) + (ad + bc)i · (a+bi) ÷ (c+di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] ÷ (c² + d²)

En la división, el denominador c² + d² es el producto de c + di por su conjugado c − di, siempre real y positivo si B no es 0 + 0i.

Módulo y argumento: el significado geométrico

En el plano complejo, un número z = a + bi se dibuja como el punto (a, b). Su módulo |z| = √(a²+b²) es la distancia al origen: el «tamaño» del número sin importar su dirección. Por ejemplo, |3+4i| = √(9+16) = 5 y |i| = 1.

El argumento θ es el ángulo que forma el vector con el eje real positivo, medido aquí en grados entre −180° y 180°. La calculadora lo obtiene con atan2(b, a), que elige el cuadrante correcto automáticamente: para z = i el argumento es 90°, para z = −1 es 180° y para z = 1 − i es −45°.

El único número sin módulo direccional es 0 + 0i: está en el origen y no apunta a ninguna dirección, así que su argumento no está definido y la calculadora lo indica.

|3 + 4i| = 5: un complejo con módulo entero, el famoso terceto pitagórico 3-4-5.
|i| = 1 con argumento 90°: la unidad imaginaria está sobre el origen, en el eje vertical.
|−1| = 1 con argumento 180°: el −1 apunta hacia la izquierda, en el eje real negativo.

Forma binómica o forma polar: cuándo usar cada una

La forma binómica a + bi es la natural para sumar, restar y comunicar resultados: se ven las dos partes por separado y coincide con cómo se escriben coordenadas.

La forma polar describe el número con su módulo y su ángulo: z = r·(cos θ + i·sin θ), con r = |z| y θ = arg(z). Es la forma cómoda para multiplicar (los módulos se multiplican y los argumentos se suman) y para pensar en rotaciones y amplitudes: en electrónica, r es la amplitud y θ el desfase.

Para pasar de polar a binómica: a = r·cos θ y b = r·sin θ. Para pasar de binómica a polar: r = √(a²+b²) y θ = atan2(b, a). La calculadora muestra las dos formas del resultado a la vez para que puedas comprobar la conversión.

1 + i tiene r = √2 ≈ 1,41 y θ = 45°: en polar, 1,41·(cos 45° + i·sin 45°).
Multiplicar en polar es inmediato: (módulo 2, ángulo 30°) × (módulo 3, ángulo 45°) = módulo 6, ángulo 75°.
Sumar en polar es incómodo y en binómica trivial: por eso el resultado final se muestra en binómica.