Qué es un vector y cómo se escribe
Un vector es una magnitud con dirección y sentido, no solo un valor: una velocidad, una fuerza o un desplazamiento son vectores. Se escribe por sus componentes y aquí los separaremos con punto y coma para no confundirlos con la coma decimal: A = (3; 4) en el plano y A = (1; 2; 3) en el espacio.
Fórmula
A = (ax; ay) en 2D · A = (ax; ay; az) en 3D
El módulo |A| mide la longitud del vector. Dos vectores son iguales si tienen las mismas componentes, aunque empiecen en puntos distintos.
Módulo, suma y resta de vectores
El módulo se calcula con una versión generalizada del teorema de Pitágoras sobre las componentes. La suma y la resta se hacen componente a componente: geométricamente, A + B es ir primero según A y después según B.
- Suma: A + B = (ax + bx; ay + by; az + bz).
- Resta: A − B = (ax − bx; ay − by; az − bz).
Fórmula
|A| = √(ax² + ay² + az²)
En 2D se omite el término az². La resta A − B da un vector que apunta desde B hacia A.
Producto escalar y producto vectorial
El producto escalar multiplica dos vectores y devuelve un número: mide cuánto van los dos «en la misma dirección». El producto vectorial devuelve un vector perpendicular a los dos anteriores, cuyo módulo es el área del paralelogramo que forman.
- Interpretación física del escalar: si A es una fuerza y B un desplazamiento, A·B es el trabajo que la fuerza realiza (solo cuenta la parte de la fuerza alineada con el movimiento).
- Interpretación física del vectorial: si A es una fuerza aplicada en el extremo de una palanca y B el brazo, A×B es el par de giro (torque); apunta perpendicular a los dos, según la regla de la mano derecha.
- Dos pistas rápidas: si A·B = 0 los vectores son perpendiculares y si |A×B| = 0 son paralelos.
Fórmula
A·B = ax·bx + ay·by + az·bz
Producto vectorial en 3D: A×B = (ay·bz − az·by; az·bx − ax·bz; ax·by − ay·bx). En el plano solo existe su componente z: ax·by − ay·bx.
El ángulo entre dos vectores
El coseno del ángulo es el producto escalar dividido entre el producto de los módulos. La calculadora sujeta el coseno al intervalo [−1, 1] antes de aplicar el arcocoseno: el redondeo del ordenador puede dar valores como 1,0000000000000002 y entonces acos() devolvería un error.
- θ = 0°: paralelos con el mismo sentido. θ = 180°: paralelos con sentidos opuestos. θ = 90°: perpendiculares.
- Si alguno de los dos vectores es el vector nulo (todas sus componentes son 0) el ángulo no está definido: la calculadora muestra un aviso accionable.
- Para decidir si son paralelos o perpendiculares se usa una tolerancia relativa de 1×10⁻⁹ sobre el seno y el coseno, de modo que los redondeos de coma flotante no rompan los casos exactos.
Fórmula
cos(θ) = A·B ÷ (|A|·|B|)
El ángulo se muestra en grados, redondeado a 2 decimales.
Ejemplos resueltos paso a paso
- A = (3; 4) y B = (1; 2): |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5 y |B| = √(1² + 2²) = √5 ≈ 2,2361.
- A·B = 3·1 + 4·2 = 11; además A + B = (4; 6) y A − B = (2; 2).
- Ángulo: cos(θ) = 11 ÷ (5 · √5) ≈ 0,98387 → θ ≈ 10,3°.
- En 3D con A = (1; 0; 0) y B = (0; 1; 0): A×B = (0; 0; 1), un vector unitario perpendicular a los dos, y el ángulo es exactamente 90°.
- A = (2; 4) y B = (1; 2) son paralelos porque B es el doble de A; A = (3; 4) y B = (4; −3) son perpendiculares porque A·B = 12 − 12 = 0.